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Rio de Janeiro UFRJ 2010.1 Questão: 9 Matemática Geral 

A pirâmide ABCD é tal que as faces ABC, ABD e ACD são triângulos retângulos cujos catetos medem a. Considere o cubo de volume máximo contido em ABCD tal que um de seus vértices seja o ponto A, como ilustra a figura abaixo.


Determine a medida da aresta desse cubo em função de a.

Considerando o sistema cartesiano com origem O no vértice A da pirâmide e eixos Ox, Oy e Oz determinados pelas arestas AB, AC e AD, respectivamente, tem-se que a face determinada pelos pontos B, C e D está contida no plano Π, cuja equação é: x + y + z = a.

Seja L a medida da aresta do cubo. Então, o vértice diametralmente oposto ao vértice A = (0,0,0) é o ponto E = (L,L,L). Sendo esse cubo o de volume máximo contido na pirâmide ABCD, o ponto E pertence ao plano Π.

3L = a → L = a/3

Resp. : a/3.



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