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Rio de Janeiro UFRJ 2010.1 Questão: 5 Matemática Geral

Considere trajetórias estabelecidas no espaço por segmentos de reta consecutivos de modo que todos os segmentos tenham comprimento 1 e sejam paralelos a um dos seguintes vetores: (0,0,1), (0,1,0) ou (1,0,0).

Assim, as duas sequências de pontos a seguir definem trajetórias diferentes que partem do ponto (0,0,0) e chegam ao ponto (2,1,2); a primeira tem comprimento 5, e a segunda, comprimento 7.

Determine quantas trajetórias assim definidas partem do ponto (0,0,0), chegam ao ponto (4,3,2) e têm o menor comprimento possível.

Comentários:

Nas condições apresentadas, uma trajetória ligando (0,0,0) a (4,3,2) é mínima se, e somente se, seu comprimento é 9 e é determinada por uma sequência, em qualquer ordem, de 4 segmentos paralelos ao vetor (1,0,0), 3 segmentos paralelos ao vetor (0,1,0) e 2 segmentos paralelos ao vetor (0,0,1). Seja N a quantidade dessas trajetórias.