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Rio de Janeiro UFRJ 2008.1 Questão: 8 Matemática Geral 

Um jogo de computador tem diversas fases. As fases são compostas por níveis. A primeira fase tem um único nível, que dá acesso aos três níveis da segunda. Cada um dos níveis da fase k dá acesso a três níveis da fase k + 1, de acordo com o esquema abaixo:


a) Quantos níveis tem a fase 6?

 

b) De quantas maneiras diferentes, partindo da primeira fase, é possível chegar ao nível 3072 da fase 13?

(a) Cada nível da fase k dá origem a 3 níveis da fase k +1. Mais precisamente, com exceção do primeiro e do último, o nível n da fase k dá origem aos níveis 2n - 1 , 2n e 2n +1 da fase seguinte. Além disso, dois níveis consecutivos da fase k geram um mesmo nível da fase seguinte, ou, para sermos precisos, o nível 2n +1 coincide com o nível 2(n +1) -1 . Assim, para evitar as repetições, podemos considerar que cada nível n > 1 da fase k gera os níveis 2n e 2n +1 da fase k +1 e que o nível n = 1 gera os níveis 1, 2 e 3 .

Dessa forma, se Nk é o número de níveis da fase k , temos Nk+1 = 2Nk +1. Esta fórmula de recorrência gera a seguinte seqüência:

N = 1
N 2 = 2 N +1 = 3
N 3 = 2N2 +1 = 7
N 4 = 2 N 3 +1 = 15
N 5 = 2 N 4 +1 = 31
N 6 = 2 N 5 +1 = 63

Logo, a fase 6 tem 63 níveis.

 

(b) Pelo que foi dito acima, um nível par da fase k +1, digamos 2n , é originado única e exclusivamente do nível n da fase k . Por outro lado, com exceção do primeiro e do último, um nível ímpar da fase k +1, digamos 2n +1, é originado tanto do nível n quanto do nível n +1 da fase k , pois 2n +1 = 2(n +1) - 1 . Portanto, podemos contar as possibilidades para se chegar a um dado nível da fase k , analisando de trás para frente. Por exemplo, na figura abaixo, ilustramos o raciocínio para os níveis 6 e 12 da fase 4: podemos ver que há somente uma possibilidade para se chegar ao nível 12 e duas para se chegar ao nível 6, revertendo o sentido das setas.

Portanto, há somente duas maneiras de se chegar ao nível 3072 da fase 13.



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