Uma reta divide o plano em 2 regiões; duas retas dividemno em, no máximo, 4 regiões; três retas dividem-no em, no máximo, 7 regiões; e assim sucessivamente. Em quantas regiões, no máximo, 37 retas dividem o plano?

Observemos, inicialmente, que, dadas n - 1 retas no plano, sempre é possível encontrar uma enésima que as intercepte (de fato: basta que o ângulo da nova reta com uma reta fixa seja diferente dos que as retas já dadas fazem com a mesma reta fixa) e não passe por nenhum dos pontos de interseção já existentes.

Observemos, ainda, que, se o plano está dividido em k regiões convexas e introduzimos uma nova reta, passamos a ter k + p regiões convexas, onde p é o número de regiões atravessadas pela reta.

Ora, se temos n - 1 retas dividindo o plano em S_n-1 + n regiões e introduzimos a enésima reta, esta, ao cruzar m retas (em pontos outros que os de interseçõao destas), atravessa exatamente m + 1 regiões. Como a nova reta pode, no máximo, cruzar todas as n - 1 retas j´a existentes, passamos a ter, no máximo, S_n-1 + n regiões.

Para cada n E IN, seja S_n o número máximo de subdivisões obtido com n retas. Então,